Dönme hareketi sonrasında oluşan eksenleri $x_1^{\prime }$, $x_2^{\prime }$ ve $x_3^{\prime }$ olarak tanımlayalım. Bu durumda, $x_2$ ekseni etrafında ${45}^{\circ }$’lik bir dönme sonucunda eksenlerin konumu Şekil 1’de gösterildiği gibi ifade edilebilir. Şekil 1’de görüldüğü üzere, dönme hareketi $x_2$ ekseni etrafında gerçekleştiğinden $x_2$ ekseni değişmeden kalır; dolayısıyla görselde $x_2^{\prime }$ ekseni, $x_2$ ekseni ile aynı doğrultudadır. Buna karşılık, dönme hareketi sonucunda $x_1$ ekseni, $x_1\text{–}{x}_3$ düzleminde $x_1>0$ ve bölgesine doğru kayarak $x_1^{\prime }$ ile gösterilmektedir. Benzer şekilde, $x_3$ ekseni ise $x_1\text{–}{x}_3$ düzleminde $x_1>0$ ve $x_3>0$ bölgesine doğru yer değiştirerek $x_3^{\prime }$ ile ifade edilmektedir.

Dönüşüm ilişkilerini yazalım. Şekil~1’den de görüldüğü üzere, $x_1^{\prime }$ ekseni $x_1\text{–}{x}_3$ düzleminde $x_1>0$ ve bölgesinde yer almaktadır. Bu nedenle, $x_1^{\prime }$ ile $x_2$ ekseni arasındaki açı ${90}^{\circ }$, $x_1^{\prime }$ ile $x_1$ ekseni arasındaki açı ise ${45}^{\circ }$’tir (bkz. Şekil~1). Bu geometrik ilişkiler kullanılarak $x_1^{\prime }$ ekseni, $x_1$, $x_2$ ve $x_3$ cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: $x_1^{\prime }=x_1\cos {45}^{\circ }+x_2\cos {90}^{\circ }-x_3\sin {45}^{\circ }$ Benzer şekilde, koordinat sistemi $x_2$ ekseni etrafında döndürüldüğü için $x_2$ ekseni değişmeden kalır. Dolayısıyla, $x_2^{\prime }$ ile $x_2$ ekseni arasındaki açı $0^{\circ }$ iken, $x_2^{\prime }$ ile $x_1$ ve $x_3$ eksenleri arasındaki açılar ${90}^{\circ }$’dir. Bu durumda $x_2^{\prime }$ ekseni, $x_1$, $x_2$ ve $x_3$ cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir: $x_2^{\prime }=x_1\cos {90}^{\circ }+x_2\cos 0^{\circ }+x_3\cos {90}^{\circ }$ Aynı yaklaşım $x_3^{\prime }$ ekseni için uygulandığında, $x_3^{\prime }$ ekseninin $x_1\text{–}{x}_3$ düzleminde $x_1>0$ ve $x_3>0$ bölgesinde yer aldığı görülür. Buna göre, $x_3^{\prime }$ ile $x_2$ ekseni arasındaki açı ${90}^{\circ }$, $x_3^{\prime }$ ile $x_3$ ekseni arasındaki açı ise ${45}^{\circ }$’tir (bkz. Şekil~1). Bu geometrik ilişkiler kullanılarak $x_3^{\prime }$ ekseni aşağıdaki şekilde ifade edilir: $x_3^{\prime }=x_1\sin {45}^{\circ }+x_2\cos {90}^{\circ }+x_3\cos {45}^{\circ }$

$x_1^{\prime }=x_1\cos {45}^{\circ }+x_2\cos {90}^{\circ }-x_3\sin {45}^{\circ }$ $x_2^{\prime }=x_1\cos {90}^{\circ }+x_2\cos 0^{\circ }+x_3\cos {90}^{\circ }$ $x_3^{\prime }=x_1\sin {45}^{\circ }+x_2\cos {90}^{\circ }+x_3\cos {45}^{\circ }$ Bu denklemlerde $\cos {45}^{\circ }=\sin {45}^{\circ }$ olduğu göz önüne alındığında, dönüşüm ilişkileri aşağıdaki daha sade biçimde ifade edilebilir: $x_1^{\prime }=x_1\cos {45}^{\circ }+x_2\cos {90}^{\circ }-x_3\cos {45}^{\circ }$ $x_2^{\prime }=x_1\cos {90}^{\circ }+x_2\cos 0^{\circ }+x_3\cos {90}^{\circ }$ $x_3^{\prime }=x_1\cos {45}^{\circ }+x_2\cos {90}^{\circ }+x_3\cos {45}^{\circ }$

$\cos {45}^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ve $\cos {90}^{\circ }=0$ değerlerini matris eşitliğinde yerine yazdığımızda eşitliğini elde ederiz.