1.3 Koordinat dönüşümleri

Elinizde bir Kartezyen koordinat sisteminde bir $P$ noktasının koordinatlarının $(x_1,x_2,x_3)$ olarak verildiğini düşünelim.
Şimdi başka bir kişinin, sizin eksenlerinize göre döndürülmüş farklı bir eksen takımı kullandığını varsayalım. Bu durumda aynı $P$ noktasını onların koordinat sisteminde $(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$ olarak nasıl ifade edebiliriz?

İşte bu, koordinat dönüşümlerinin temel sorusudur.
Koordinat dönüşümleri, iki referans sistemi birbirine göre döndürülmüş olduğunda, koordinatları bir sistemden diğerine düzenli ve sistematik bir şekilde dönüştürmemizi sağlar.

Önce iki boyutlu durumdan başlayalım. Yeni koordinat eksenlerinin $(x_1^{\prime },x_2^{\prime })$, başlangıçtaki eksenlerin $(x_1,x_2)$ $\theta$ açısı kadar döndürülmesiyle elde edildiğini varsayalım. (Şekil 1'e bakınız.)

Yeni koordinat $x_1^{\prime }$’i bulmak için, başlangıç koordinatlarını yeni $x_1^{\prime }$ ekseni üzerine izdüşürürüz. (Bkz. Şekil 2, mavi çizgiler)

Şekil 2’de noktaları $k$, $l$, $m$, $n$ ve $r$ olarak adlandıralım. Daha sonra $x_1$ ve $x_2$’nin $x_1^{\prime }$ ekseni üzerindeki izdüşümlerini yazalım:
${\mathrm{proj}}_{x_1^{\prime }}{x}_1=Ok‾=x_1\cos \theta$
${\mathrm{proj}}_{x_1^{\prime }}{x}_2=Or‾=x_2\sin \theta$

Daha sonra $kn‾$ doğrusuna paralel bir doğru ve $x_1^{\prime }$ eksenine paralel başka bir doğru çizelim. Bu iki doğru $t$ noktasında kesişsin (Bkz. Şekil 3).

$\left(kntm\right)$ bir dikdörtgen olduğundan, $nt‾$ uzunluğu $kl‾$ ile $lm‾$ uzunluklarının toplamına eşittir: $nt‾=kl‾+lm‾$
Benzer şekilde, $\left(x_{2}OnP\right)$ bir dikdörtgen olduğu için $Pn‾=x_2$ olur. $$ dik üçgenini kullanırsak $nt‾=x_2\sin \theta$ elde edilir.
Dolayısıyla $nt‾=kl‾+lm‾$ olduğundan $nt‾=kl‾+lm‾=x_2\sin \theta$ yazabiliriz.
Ayrıca $x_1^{\prime }=Ok‾+kl‾+lm‾$ olduğuna göre $x_1^{\prime }=Ok‾⏟x_1\cos \theta +kl‾+lm‾⏟x_2\sin \theta$ elde edilir.

Sonuç olarak, $x_1$ ve $x_2$ koordinatlarını yeni $x_1^{\prime }$ ekseni üzerine izdüşürerek yeni koordinatı buluruz:
$x_1^{\prime }=x_1\cos \theta +x_2\sin \theta$

Benzer şekilde, Şekil 4’te gösterilen noktaları $k$, $l$, $m$, $n$ ve $r$ olarak adlandıralım.
Daha sonra $x_1$ ve $x_2$’nin $x_2^{\prime }$ ekseni üzerindeki izdüşümlerini bulalım. Bu izdüşümler şöyle yazılır:
${\mathrm{proj}}_{x_2^{\prime }}{x}_1=-Om‾=-x_1\sin \theta$
${\mathrm{proj}}_{x_2^{\prime }}{x}_2=Ok‾=x_2\cos \theta$

Bu doğru parçaları, $x_1$ ve $x_2$ koordinatlarının $x_2^{\prime }$ doğrultusundaki bileşenlerini gösterir.

Daha sonra $r$ noktasından, $lP‾$ doğru parçasına paralel bir doğru çizelim ve ayrıca $x_2^{\prime }$ eksenine paralel bir başka doğru çizelim. Bu iki doğrunun kesişim noktasını $t$ ile gösterelim (Bkz. Şekil 5).

Bu geometrik çizim, izdüşümler ile döndürülmüş koordinat ekseni arasındaki ilişkiyi görsel olarak anlamamıza yardımcı olur.

$△\left(mnO\right)$ ve $△\left(trP\right)$ üçgenleri benzer ve benzerlik oranı 1 olduğundan $△\left(mnO\right)\sim △\left(trP\right)$ buradan $tP‾=Om‾$ elde edilir.
Ayrıca $\left(klPt\right)$ bir dikdörtgen olduğundan $kl‾=tP‾$ olur. $tP‾=Om‾$ kullanılırsa $kl‾=Om‾$ sonucuna ulaşırız.
Şeklin geometrisinden (Bkz. Şekil 5) $lO‾=Ok‾-Om‾$ olduğu görülür.
Son olarak $lO‾=x_2^{\prime }$, $Ok‾=x_2\cos \theta$, $Om‾=x_1\sin \theta$ olduğuna göre, bunları
$lO‾=Ok‾-Om‾$ eşitliğinde yerine koyarsak $x_2^{\prime }=x_2\cos \theta -x_1\sin \theta$ elde edilir.

Elde ettiğimiz iki sonucu birleştirirsek, $P$ noktasının eski ve yeni koordinatları arasındaki ilişkiler şöyle olur:
$x_1^{\prime }=x_1\cos \theta +x_2\sin \theta x_2^{\prime }=-x_1\sin \theta +x_2\cos \theta$

Bu fikri genelleştirmek için kullanışlı bir gösterim tanıtırız. Yön kosinüsü ${\lambda }_{ij}$, yeni eksen $x_i^{\prime }$ ile başlangıç ekseni $x_j$ arasındaki açının kosinüsü olarak tanımlanır:
${\lambda }_{ij}=\cos (x_i^{\prime },x_j)$
Her ${\lambda }_{ij}$ değeri, başlangıçtaki $j$-inci eksenin yeni $i$-inci eksene ne kadar katkı yaptığını gösterir. Bu gösterimi kullandığımızda dönüşüm denklemleri daha düzenli ve daha kısa (kompakt) bir biçimde yazılabilir.

Üç boyutta, her yeni koordinat; üç eski koordinatın uygun yön kosinüsleri ile ağırlıklandırılmış doğrusal birleşimi şeklinde yazılır:

Ters dönüşüm — yani döndürülmüş koordinat sisteminden tekrar başlangıç sistemine geçiş — çok benzer bir biçimde yazılır, Burada dikkat edilmesi gereken nokta, $\lambda$ katsayılarının indislerinin yer değiştirmiş olmasıdır:

Tüm yön kosinüslerini ${\lambda }_{ij}$ bir kare düzen içinde toplamak doğaldır. Böylece dönüşüm matrisi (ya da rotasyon matrisi) elde edilir:

Bu matrisin her satırı, yeni eksenlerden birinin yön kosinüslerini içerir.

$A$ matrisi bilindiğinde, herhangi bir noktanın koordinatlarını iki koordinat sistemi arasında dönüştürmek mümkün olur.